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28 de abril de 2021

Álgebra de Boole. Funciones Lógicas.


Álgebra de Boole, Funciones Lógicas

Se podría afirmar que el Álgebra de Boole son las matemáticas de los sistemas digitales.
Las señales de los sistemas digitales se representan por medio de secuencias de bits. Cuando la señal se encuentra en nivel Alto, se representa mediante un 1 Binario. Si por el contrario se encuentra en nivel Bajo, se representará como 0 Binario. En 1850 George Boole desarrolló un sistema matemático para formular proposiciones lógicas mediante la utilización de símbolos, a través del mismo se pueden resolver problemas de forma similar a los planteados mediante el álgebra tradicional.

Las Operaciones lógicas se pueden representar a través de Símbolos Gráficos y de Tablas de la Verdad.

Representación Gráfica.




AND

La función AND puede tener dos o más entradas y una única salida, se conoce como multiplicación lógica.
I1 I2 Salida
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

OR

La función OR puede tener dos o más entradas y una única salida, se conoce como suma lógica.
I1 I2 Salida
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

NOT

La función OR cambia el nivel lógico al opuesto, se conoce como negación lógica.

I1 Salida
0 1
1 0

NAND

La función NAND es un contracción de NOT-AND, se trata de una función AND con la salida negada.
I1 I2 Salida
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0

NOR

La función NOR es un contracción de NOT-OR, se trata de una función OR con la salida negada.
I1 I2 Salida
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0

Las expresiones algebraicas de las funciones son de gran utilidad para diseñar el programa de un automatismo, es muy importante simplificar las mismas para que sea más sencillo el programa. En caso de utilizar un autómata programable o relé programable ello nos permitirá utilizar uno con menos prestaciones y reducir las líneas de código, abaratando con ello la instalación, puesto que deberemos utilizar menos Entradas/Salidas.

El diagrama o mapa de Karnaugh parte de la tabla de la verdad, es práctico para simplificar hasta 6 variables. Este método esta basado en teoremas matemáticos (Código de Gray), por ello no deberemos alterar el orden establecido para la colocación de las variables.

Pasos a seguir : 
  • Obtener la tabla de la verdad de la función lógica.
  • Pasar los valores de la tabla de la verdad al diagrama de Karnaugh.
  • Agrupar los unos lógicos en grupos de 2, 4, 8, 16 ... para formar un lazo.
  • Analizar cada grupo o lazo para detectar la variable o variables que cambian de estado, que serán eliminadas. 

A continuación expongo un ejemplo :




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